矩阵乘法

写在最前面的话

由于自己太弱了，写这个来总结一下，方便复习。很多内容总结自维基百科（链接1、链接2）和李煜东《算法竞赛进阶指南》。

适用范围

一个矩阵的列数等于另一个矩阵的行数时，它们的乘法才有意义。

运算方法

对于一个 $n*p$ 的矩阵 $A$ 和一个 $p*m$ 的矩阵 $B$ ，它们的乘积 $C$ 是一个 $n*m$ 的矩阵。

$A$ 矩阵和 $B$ 矩阵乘积中的元素 $C_{[i,j]}$ ,等于 $A$ 矩阵第 $i$ 行的 $p$ 个数和 $B$ 矩阵第 $j$ 列的 $p$ 个数分别相乘的和。即：

$C_{i,j} = \sum_{k=1}^{p} A_{i,k}*B_{k,j}$

矩阵乘法同数的乘法一样，有结合律、分配律。但是交换因数后不一定能满足 $(n*p)*(p*m)$ 的形式，即m不一定等于n，并且就算满足也不一定结果相等，所以矩阵乘法不满足乘法交换律。

纯乘法的代码实现

1.计算函数。由于自己太弱了，加上时间有限，写了一份很水的代码。

但是这里必须固定 $A$ 、 $B$ 的数组大小，可能vector可以解决这个问题？欢迎大佬们指教。

#include<cstdio>
int A[2][3]={
	{1,2,3},
	{4,5,6}
};
int B[3][4]={
	{1,2,3,4},
	{5,6,7,8},
	{9,10,11,12}
};
int c[2][4];
int n,m;
void mul(int a[][3],int b[][4],int n,int m,int p){
	for(int i=0;i<n;++i){//n 乘积的行数 
		for(int j=0;j<m;++j){//m 乘积的列数 
			for(int k=0;k<p;++k){//p 即共有的维 
				c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
			}
			printf("c[%d][%d]=%d\n",i,j,c[i][j]);
		}
	}
}
int main(){
	mul(A,B,2,4,3);//计算A*B,并保存到c[][4]数组中 
	return 0;
}

2.有一种边读入边计算的写法：

scanf("%lld%lld%lld",&n,&p,&m);
for(long long i=1;i<=n;++i){
	for(long long j=1;j<=p;++j){
		scanf("%lld",&a[i][j]);
	}
}
for(long long i=1;i<=p;++i){
	for(long long j=1;j<=m;++j){
		scanf("%lld",&b[i][j]);
		for(long long k=1;k<=n;++k){//此处k枚举的并非是公共维
			ans[k][j]+=a[k][i]*b[i][j];
		}
	}
}

需要注意的是，这里的k的含义与上一份代码不同。由于已经枚举了公共边（即第7行枚举的 $i$ ）和列数 $j$ ，这里只需要枚举乘积的行数。仍然是 $n*m*p$ 三维。

~~我也不知道自己怎么就写了这么个没用的玩意。~~

用途

矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如
$f(x)=4x$ 之类的线性函数的推广。
——维基百科

1.其实蒟蒻的我并不知道怎么解线性方程组，但是对于矩阵加速线性变换有一些体会。让我们考虑一种比较特殊的矩阵乘法： $1*n$ 和 $n*n$ 。由定义可知，它们的乘积仍然是一个 $1*n$ 的矩阵。那么有什么用呢？我们可以借助快速幂的思想，利用矩阵乘法的分配律、结合律，降低时间复杂度。

例如，POJ3070 这道题要求斐波那契数列第 $n$ 项mod $m$ （给定 $n$ , $m$ ）的值。我们可以设一个 $1*2$ 的矩阵 $A$ 来存放 $F_{i},F_{i+1}$ ，然后通过设立方程，求出一个 $2*2$ 的矩阵 $B$ ，使得 $A*B$ 得到的 $1*2$ 的矩阵 $C$ ，满足 $C=[F_{i+1},F_{i+2}]$ 。于是，我们可以把时间复杂度由 $O(n)$ 降低到 $O(log_{2}^{n})$ 。
我们可以通过设未知数解方程，使一个矩阵满足一定的性质。例如，当我们写快速计算矩阵乘法的函数时，函数里默认的矩阵（用于存放答案）应该初始化为什么呢？（计算快速幂时将对应变量初始化为1）如果全部初始化为0，就会导致任何符合条件的矩阵与其相乘都为0。